Eduard Vávra hrál za týmy Sparty Praha, Duklu Bratislava, Duklu Bohdaneč a Duklu Přelouč, dále trénoval v tehdejší nejvyšší ragbyové soutěži hrající týmy Dukly později VTJ Přelouč, dále Sparty Praha a RC Říčany.
Jako hráč s desítkou na zádech se podílel na zisku mistrovského titulu Dukly Přelouč, která tehdy hrála na trávníku plochodrážního stadionu na Svítkově, kde se také hráči armádního týmu radovali v roce 1970 z prvenství v první lize, která se tehdy hrála dvoukolově bez play off.
Nutno připomenout, že přes ragbyový armádní tým v Přelouči prošly v sedmdesátých a osmdesátých letech stovky ragbistů a to, že se z nich zde vyklubaly desítky reprezentantů bylo velkou zásluhou právě trenéra Eduarda Vávry.
Oproti svému předchůdci a trenérovi Dukly Alfovi Zedovi, který během zápasu kroužil kolem pomezní čáry a vtipně komentoval celé utkání, byl Eduard Vávra jeho pravý opak. S klidem Angličana pozoroval hru svých svěřenců, kterým o přestávce sdělil klidně své poznatky.
Zkrátka a dobře Eduard Vávra se zasloužil o české ragby především v armádě a svým způsobem se zasloužil i o to, že se vědělo více o sportovní Přelouči, protože se o přeloučských ragbistech nepsalo jen v Obraně lidu a v krajském východočeském deníku Pochodeň, ale i v celostátních denících a jako, že jich v sedmdesátých a v osmdesátých letech tehdy vycházelo se sportovní stránkou na konci mraky.
Ragby hrál i Vávrův syn Petr na postu mlynáře. Jeho jméno nalezeneme i v reprezentačních sestavách.